Translate Mathematics Articles

English to Indonesia

History of Mathematic by Shelley Walsh (2000)

http://homepage.mac.com/

The name given by mathematicians to the numbers we count with is the natural numbers. For a long long time in history these were simply the numbers.

The details of how arithmetic was invented are not known, but it is clear that people have not always done it. The rudiments of addition and subtraction probably go back even to before people had the kind of idea that we have nowadays of number. In early times the idea of number was much more concrete than it is nowadays. Instead of giving a name to how many there was of something, they used something smaller and cheaper to model it like a pile of pebbles or sticks or tally marks.

Archaeologist have found a number of clay tokens that they think were used by the ancient Babylonians for keeping track of how many or various things that they had. Some of these are nearly 10,000 years old. At around 8000 BCE these people started domesticating plants and animals and started being able to produce more that they could eat at once, so they felt the need to keep track of how much they had of various things. It is not known if they even had words for numbers at this time, but that needn't have stopped them. Clay was plentiful and easy to use, so they formed it into various shapes to represent the things that they had. One small ball of clay might represent a certain measure of grain and different shaped piece of clay might represent a lamb.

Using these sorts of methods of accounting one might easily imagine that the idea of adding and subtracting in the physical sense of adding a certain pile of tokens to another piles of pebbles or tokens or taking away some tokens as a way of modeling the similar action with the bigger more valuable items that they represented. Multiplication and Division are more complicated, so they were probably invented much later. Even in early civilizations they didn't view them quite the way we view them nowadays. In ancient Egypt, for example, the basic operations were addition, subtraction, and doubling, and the various problems that we would solve by multiplying were probably viewed as separate individual problems to be solved by the use of these operations.

Throughout history various notations for numbers have been used. The notation system we finally settled on came originally from India. Roman Numerals were used in Europe as late as the early Renaissance, but the dark ages were really only the dark ages for Europe. Even before the fall of Rome the Indians were making good use of this superior system of number notation that we use today and call the Hindu-Arabic system. The reason Arabic is part of the name is that it was introduced to Europe by the Arabs, the people who really were having a good time in the 'dark' ages.

One of the most important of these Arabs for elementary mathematics is Al-Khwarizmi. He wrote an arithmetic book where he explained the Indian number notation system and the methods for doing arithmetic with it. This book became so popular that systematic methods for doing things got named after him and became called algorithms.

Another important person for arithmetic is a man living in Italy in the 13th century named Leonardo of Pisa, known also as Fibonacci . He is probably the European most responsible for the fact that we use Hindu-Arabic numerals and compute the way the Indians and Arabs did instead of on a counting board. His father was a diplomat and he traveled widely with his father and was educated in North Africa and learned about the Hindu-Arabic number notation and computation methods and became convinced that they were greatly superior to the systems used in Europe. When he returned to Italy he wrote a book called Liber Abacci explaining these numbers and how to do arithmetic with them and the book was very influential.

The advantages of this system for addition and subtraction are not a lot, but it is much better for multiplication. From the 13th c. onward the commercial world was getting increasingly complicated, so such things were increasingly important. Because of this Leonardo's book influenced very much the merchants of the time as well as the mathematicians. So a number of people were able to make their living teaching this new arithmetic and writing books about it and new innovations developed so that eventually the methods that you were taught in school evolved.

Sejarah Matematika oleh Shelley Walsh (2000)

Nama yang diberikan oleh matematikawan-matematikawan untuk angka-angka yang kita hitung adalah bilangan-bilangan alami. Sejak jaman dahulu dikenal dengan bilangan sederhana. ( seperti yang kita kenal).

Penemuan secara terperinci tentang bagaimana aritmatika( ilmu hitung) ditemukan tidak diketahui, namun itu telah jelas bahwa orang-orang tidak harus selalu melakukannya. Dasar-dasar penjumlahan dan pengurangan mungkin mundur sebelum orang-orang memiliki bermacam-macam pemikiran tentang bilangan yang telah kita miliki sekarang ini. Di masa dahulu pemikiran ide tentang bilangan lebih konkret dari pada sekarang ini, malahan pemberian nama untuk berapa banyaknya sesuatu, mereka menggunakan sesuatu yang lebih kecil dan murah untuk memperagakannya seperti tumpukan kerikil atau tongkat.

Arkeolog telah menemukan sejumlah mata uang dari tanah liat yang mereka perkirakan digunakan oleh Babilonia kuno untuk menyimpan beberapa banyak atau bermacam benda yang mereka miliki. Beberapa dari itu mendekati 10.000 tahun. Sekitar 8000 BCE masyarakat mulai membudidayakan tanaman dan binatang, dan mulai memproduksi lebih apa yang dapat mereka makan, sehingga mereka merasa perlu untuk mengawasi berapa banyak benda yang mereka miliki. Tidak diketahui jika mereka memiliki kata-kata untuk bilangan pada waktu itu, tetapi itu tidak menghentikan mereka. Tanah liat sangat berlimpah dan mudah untuk digunakan, lalu mereka membentuknya dengan berbagai macam bentuk untuk merepresentasikan apa yang mereka miliki. Sebuah bola kecil dari tanah liat mungkin mewakili sebuah ukuran untuk padi dan potongan bentuk berbeda dari tanah liat mewakili seekor domba.

Meode perhitungan ini mungkin mudah dibayangkan, yaitu pemikiran dari penjumlahan dan pengurangan. Pada pengertian fisika tentang penjumlahan tumpukan mata uang untuk tumpuksn kerikil lainnya atau mengambil beberapa mata uang sebagai jalan penggambaran perbuatan yang sama dengan nilai yang lebih besar dari yang mereka wakili. Perkalian dan pembagian lebih kompleks lagi, maka mungkin mereka menemukannya labih setelah itu. Pada Mesir kuno contohnya, dasar operasi adalah penjumlahan, pengurangan dan doubling dan bermacam-macam masalah yang kita akan selesaikan dengan mengalikan yang mungkin diperlihatkan sebagai permasalahan individu untuk diselesaikan dengan menggunakan operasi ini.

Seluruh sejarah bermacam notasi untuk bilangan telah digunakan. Sistem notasi akhirnya telah kita tetapkan asli datang dari India. Bilangan Roman telah digunakan di Eropa hingga awal Renaissance, tetapi jaman kegelapan hanya untuk zaman kegelapan untuk Eropa. Bahkan sebelum jatuhnya Roma, orang India telah menggunakan system notasi bilangan seperti yang telah kita gunakan sekarang dan dikenal sebagai system Hindu-Arab. Alasan Arab diambil sebagai nama adalah untuk memperkenalkan ke Eropa oleh orang-orang Arab, yaitu oaring-orang yang memiliki waktu yang baik pada “masa kegelapan”.

Salah satu orang Arab yang paling penting untuk matematika dasar adalah Al-Khwarizmi. Dia menulis sebuah buku aritmatika, dimana dia menjelaskan system notasi bilangan Indian dan metode untuk mengerjakan aritmatika dengan itu. Buku ini menjadi sangat popular karena metode yang sistematik untuk menyelesaikan telah memiliki nama dan menjadi algoritma.

Orang penting lainnya untuk aritmatika adalah orang Italia pada abad ke 13 bernama Leonardo, dikenal juga sebagai Fibonacci. Dia adalah orang Eropa yang paling bertanggung jawab untuk fakta bilangan Hindu-Arab. Ayahnya adalah seorang diplomat dan dia berkelana dengan ayahnya dan menimba ilmu di Afrika utara dan mendalami tentang notasi bilangan Hindi-Arab dan metode perhitungan, dan dipastikan bahwa mereka menjadi superior untuk system yang digunakan di Eropa. Ketika dia kembali ke Italia, dia menulis sebuah buku berjudul Liber Abacci yang menjelaskan bilangan ini dan bagaimana mengerjakan aritmatika dengan itu dan buku ini sangat berpengaruh.

Keuntungan dari system ini untuk penjumlahan dan pengurangan tidak banyak.

Dari abad ke 13 kemajuan yang luar biasa dan penting, karena buku Leonardo sangat berpengaruh pada pedagang-pedagang dan para ahli matematika. Sehingga banyak masyarakat mulai mempelajari aritmatika baru dan menulis buku-buku tentang itu dan membuat metode-metode yang sudah kita ketahui.

Indonesia to English

Sumber : Hadiwidjojo,moeharti.1973.Ilmu Ukur Analitik Bidang.Yayasan Pembina FKIE IKIP Yogyakarta .

SUSUNAN KOORDINAT

1. Letak suatu titik pada suatu garis lurus

Untuk menunjukkan letak suatu titik pada suatu garis lurus diambil pada garis itu suatu titik tertentu O yang diberi nama titik asal. Maka letak suatu titik T pada garis itu akan tertentu pula, apabila diketahui jarak titik T dari titik asal O ini. Untuk membedakan apakah titik T terletak di sebelah kiri atau kanan dari O, maka jarak dari T ke O disebelah yang satu dari O diberi tanda positif dan di sebelah lainnya diberi tanda negative.

Pada umumnya diambil jarak-jarak disebelah kanan O positif dan di sebelah kiri O negative. Jika titik asal O ini dinamakan titik nol dan digunakan satuan-satuan panjang , misalnya cm maka setiap titik T pada garis g dapat ditunjukkan letaknya oleh suatu bilangan yang menyatakan jarak OT. Sebaliknya suatu bilangan nyata menunjukkan letak suatu titik T pada garis g tersebut. Bilangan ini disebut koordinat titik itu atau dalam hal ini disebut absis titik itu.

Jika garis g disebut sumbu x, maka untuk menunjukkan letak suatu titik T dapat ditulis T(x) dan x ini adalah absis titik T.

Contoh :

O(0) berarti O berjarak 0 dari titik asal.

T1 (+4)berarti T1 berjarak 4 satuan panjang dari O dan terletak disebelah kanan O.

T2 (-1)berarti T2 berjarak 1 satuan panjang dari O dan terletak disebelah kiri O.

Jadi suatu titik pada suatu garis lurus mempunyai satu koordinat yang disebut absis titik tersebut.

Tampak bahwa setiap titik pada garis menentukan satu bilangan nyata yaitu absisnya, dan sebaliknya setiap bilangan nyata menentukan letak suatu titik. Jadi ada koraspondensi satu-satu antara titik-titik pada garis dan himpunan bilangan-bilangan nyata.

2. Jarak dua buah titik

Apabila kordinat-koordinat 2 buah titik pada suatu garis diketahui, maka jaraj kedua titik itu dapat dihitung. Jarak kedua titik itu tidak diberi tanda positif atau negative, tetapi diambil harga mutlaknya, artinya:

| x | = x , bila x>=0

| x | = -x , bila x<>

Misalnya :

4ada dua buah titik T1 (+5) dan T2(+2). Jarak T1 T2 = 3 ini didapat dari (+2) – (+5) = -3 , yang harga mutlaknya 3.

4 P1 (-1) and P2 (4), jarak P1 P2 = 5. ini didapat dari (4) – (-1)= 5.

4O1 (-3) and O2 (-7), jarak O1 O2= 4. ini didapat dari (-7)

-(-3)= -4, yang harga mutlaknya 4.

Tampak bahwa jika ada dua titik A(x1) and B(x2), maka jarak kedua titik itu sama dengan harga mutlak dari x1- x2 atauAB = | x1- x2 | = | x2- x1|.

Jarak 2 buah titik pada suatu garis sama dengan harga mutlak dari selisih absis-absisnya. Jika ada T1 (x1) dan T2 (x2), maka T1 T2= | x1- x2 | = | x2- x1|.

Catatan :

Jarak 2 buah titik dapat pula diberi tanda positif atau negative jika yang dimaksud dengan T1 T2 adalah jarak dari T1 ke T2 dan yang dimakdud dengan T2 T1 ialah jarak T2 ke T1. dengan jaan ini sekaligus dapat dilihat apakah T1 terletak disebelah kanan atau kiri dari T2, sesuai dengan arah positif atau arah negative dari sumbu x.

Untuk cara ini berlaku : T1T2= x2- x1 and T1T2= x1- x2.

Dapat diperiksa pada contoh-contoh di atas:

T1T2= (+2) – (+5) = -3, berarti T2 di sebelah kiri T1.

P1P2= 5, berarti P2disebelah kanan P1.

COORDINATE STRUCTURE

1. The location of point on straight line

For indicate the location of a point on straight line, we must take a point, for the example point O, that we call domain point. So location for point T on that line will appear, if the distance for point T and O is detected. For differentiate, wether point T on the left side or the right side of point O, we must give plus sign if that point in the right side of point O, and give minus sign if that point in the left side of point O.

Generally the distance in the right side of O is positive , and negative in the left side of point O. If domain point O, we call point zero and use length like cm, so each point T in the line g can be shown that location by the number that explain the distance of OT. On the contrary, each real numbers show the distance of point T on the line g. This number is called coordinate that point or we can call absis that point.

If line g we call axis x, then for indicate point T can be written T(x) and x is an absis for point T.

Example:

O(0) means point O has distance 0 from domain point.

T1 (+4) means T1 has distance 4 from 0 and in the right side of O.

T2 (-1) means T2 has distance 1 from 0 and in the left side of O.

So every point in a straight line has one coordinate that called absis that point.

Appear that each point on straight line determine a real number, it is absis . On the contrary, each real numbers determine location a point. So it has a correspondence between points in the line and real numbers compilation.

2. The distance of two points

If we found coordinates two points on line, so the distance of that two points can be calculated. The distance of two points must not has positive or negative sign, but we take the absolute value, it means

| x | = x , if x>=0

| x | = -x , if x<>

Example:

4There are two points T1 (+5) and T2 (+2). The distance of T1 T2= 3, we can get it from(+2) – (+5) = -3 , has absolute value 3.

4 P1 (-1) and P2 (4), the distance of P1 P2 = 5. It is from (4) – (-1)= 5.

4O1 (-3) and O2 (-7), the distance of O1 O2= 4. Its from (-7)

-(-3)= -4, has absolute value 4.

It shows that if there are two points A(x1) and B(x2), so the distance of both points is equal with absolute value from x1- x2 or AB = | x1- x2 | = | x2- x1|.

The distance of two points in a line equal with absolute value from the difference from that absis. If T1 (x1) and T2 (x2), so T1 T2= | x1- x2 | = | x2- x1|.

Notes:

Distance of two points can contain positive or negative sign, if T1 T2 is distance from T1 to T2. With this way we can see whether T1 on the right side or in the left side of T2, suitable with positive or negative direction from axis x.

For this method equal : T1T2= x2- x1 and T1T2= x1- x2.

We can check from the example in above.

T1T2= (+2) – (+5) = -3, means T2 in the left side of T1.

P1P2= 5, means P2in the right side of P1

This method is not use in middle school.